Математикалық сауаттылық
Пайыздық есептеулерге берілген логикалық есептер. Дөңгелек және бағанды диаграммалар түріндегі статистикалық мәліметтерге арналған логикалық есептер
3 / 10 тақырып
Пайыздық есептеулерге берілген логикалық есептер. Дөңгелек және бағанды диаграммалар түріндегі статистикалық мәліметтерге арналған логикалық есептер
Пайыздық есептеулерге берілген логикалық есептер. Дөңгелек және бағанды диаграммалар түріндегі статистикалық мәліметтерге арналған логикалық есептер
Сабақтың мақсаты
Балалар, бүгін біз жай ғана пайызды есептеуді емес, пайыздық ақпаратты талдауды, салыстыруды және одан қорытынды жасауды үйренеміз.
Сонымен қатар дөңгелек диаграмма мен бағанды диаграмманы оқып, диаграммада берілген мәліметтер бойынша логикалық есептер шығарамыз.
Бүгінгі тақырыпты жақсы меңгеру үшін мына төрт нәрсені білуіміз керек:
1. Пайыз деген не?
2. Санның пайызын қалай табамыз?
3. Пайыз бойынша белгісіз санды қалай табамыз?
4. Диаграммадағы ақпаратты қалай оқып, есепке айналдырамыз?
________________________________________
1. Пайыз дегеніміз не?
Балалар, пайыз дегеніміз – санның жүзден бір бөлігі.
«Пайыз» сөзі % белгісімен жазылады.
Ең маңыздысы:
1% = 1/100
Демек:
1% = 0,01
10% = 0,1
25% = 0,25
50% = 0,5
100% = 1
Ал 100% – бұл толық сан.
Мысалы, сыныпта 20 оқушы болса, барлық 20 оқушы:
100%
болып есептеледі.
Егер оның 10 оқушысы қыз болса:
10/20 = 1/2 = 50%
Демек, қыздар сыныптың 50%-ын құрайды.
________________________________________
2. Пайызды бөлшекке қалай айналдырамыз?
Пайызды ондық бөлшекке айналдыру үшін 100-ге бөлеміз.
Мысалы:
20% = 20 : 100 = 0,2
35% = 35 : 100 = 0,35
75% = 75 : 100 = 0,75
8% = 8 : 100 = 0,08
Есте сақта!
Пайызды ондық бөлшекке айналдыру үшін үтірді екі орын солға жылжытамыз.
Мысалы:
45% → 0,45
7% → 0,07
125% → 1,25
________________________________________
3. Санның пайызын табу
Бұл – пайызға байланысты есептердің ең негізгі түрі.
Мысалы:
200 санының 20%-ын тап.
20%-ды ондық бөлшекке айналдырамыз:
20% = 0,2
Енді 200-ді 0,2-ге көбейтеміз:
200 • 0,2 = 40
Жауабы:
40
________________________________________
Ереже
Санның пайызын табу үшін:
Сан • Пайыз / 100
немесе пайызды ондық бөлшекке айналдырып:
Сан • ондық бөлшек
түрінде есептейміз.
________________________________________
4. Тағы бір мысал
500 санының 15%-ын тап.
15% = 0,15
Сонда:
500 • 0,15 = 75
Жауабы:
75
________________________________________
5. Пайызды ойша есептеудің тиімді тәсілдері
Кейбір пайыздарды есептеуді жеңілдетуге болады.
50%
Санның жартысы.
Мысалы:
300-дің 50%-ы = 150
25%
Санның төрттен бірі.
200-дің 25%-ы = 50
10%
Санды 10-ға бөлеміз.
700-дің 10%-ы = 70
1%
Санды 100-ге бөлеміз.
600-дің 1%-ы = 6
________________________________________
6. Пайыз арқылы санды табу
Кейде бізге санның өзі белгісіз болады, бірақ оның белгілі бір пайызы беріледі.
Мысалы:
Бір санның 20%-ы 30-ға тең. Осы санды тап.
Белгісіз санды x деп белгілейміз.
Оның 20%-ы:
0,2x
Бұл 30-ға тең:
0,2x = 30
Сондықтан:
x = 30 : 0,2
x = 150
Тексеру:
150-дің 20%-ы:
150 • 0,2 = 30
Дұрыс.
Жауабы:
150
________________________________________
7. Белгілі пайызы арқылы бүтінді табудың формуласы
Егер санның p%-ы белгілі болса:
Бүтін сан = берілген бөлік : пайыз
Мысалы:
40%-ы 80 болса:
80 : 0,4 = 200
Демек, толық сан – 200.
________________________________________
8. Бір санның екінші санға пайыздық қатынасын табу
Мысалы:
25 саны 100 санының неше пайызын құрайды?
Бірінші санды екінші санға бөлеміз:
25 : 100 = 0,25
Пайызға айналдырамыз:
0,25 • 100% = 25%
Жауабы:
25%
________________________________________
9. «Неше пайызға артық?» дегенді қалай табамыз?
Бұл жерде оқушылар жиі қателеседі.
Мысалы:
Бір дүкенде дәптер 400 теңге, екінші дүкенде 500 теңге тұрады.
Екінші дүкендегі дәптер бірінші дүкендегіден неше пайызға қымбат?
Алдымен айырмасын табамыз:
500 - 400 = 100
Енді осы айырманы бастапқы бағаға бөлеміз:
100 : 400 = 0,25
Пайызға айналдырамыз:
0,25 • 100% = 25%
Жауабы:
Екінші дүкендегі дәптер 25%-ға қымбат.
Өте маңызды!
«Неше пайызға артық?» дегенде пайызды бастапқы мәнге қатысты есептейміз.
________________________________________
10. «Неше пайызға кем?» дегенді табу
Мысалы:
Бір кітаптың бағасы 800 теңгеден 600 теңгеге төмендеді.
Кітап бағасы неше пайызға арзандады?
Айырмасы:
800 - 600 = 200
Бастапқы баға:
800
Пайыз:
200 : 800 • 100% = 25%
Жауабы:
Кітаптың бағасы 25%-ға төмендеді.
________________________________________
11. Пайызға көбейту және пайызға азайту
Мысалы:
200 саны 15%-ға арттырылды. Жаңа санды тап.
15% = 0,15
Артық қосылған бөлік:
200 • 0,15 = 30
Жаңа сан:
200 + 30 = 230
Немесе бірден:
200 • 1,15 = 230
________________________________________
Ал 15%-ға кемісе:
200 • 0,85 = 170
Неге 0,85?
Өйткені бастапқы санның 100%-ынан 15%-ын алып тастаймыз:
100% - 15% = 85%
85% = 0,85
________________________________________
12. Бағаға байланысты пайыздық логикалық есеп
Телефонның бағасы 120 000 теңге. Дүкенде оған 15% жеңілдік жасалды. Телефонның жаңа бағасы қанша?
Алдымен жеңілдікті табамыз:
120 000 • 0,15 = 18 000
Жеңілдіктен кейінгі баға:
120 000 - 18 000 = 102 000
Жауабы:
102 000 теңге.
________________________________________
13. Екі рет пайыздық өзгеріс болса
Бұл жерде ерекше назар аудару керек.
Мысалы:
Баға алдымен 20%-ға өсті, кейін 20%-ға төмендеді. Баға бастапқы қалпына келе ме?
Жоқ.
Мысалы, бастапқы баға 100 теңге болсын.
20%-ға өссе:
100 • 1,2 = 120
Енді 20%-ға төмендетеміз:
120 • 0,8 = 96
Бастапқы баға 100 еді, соңында 96 болды.
Демек, бастапқы қалпына келген жоқ.
Қорытынды:
20%-ға өсіріп, кейін 20%-ға азайтсақ, бастапқы сан шықпайды.
Себебі екінші пайыз жаңа санға қатысты есептеледі.
________________________________________
14. Пайыздық логикалық есептерді шығарудың алгоритмі
Есепті көргенде мына ретпен жұмыс істейміз:
1-қадам
Есепте не берілгенін анықта.
2-қадам
Нені табу керек? – соны анықта.
3-қадам
Пайызды ондық бөлшекке айналдыр.
4-қадам
Қажетті формуланы таңда.
5-қадам
Есепте.
6-қадам
Жауапты шартқа сәйкес толық жаз.
7-қадам
Мүмкін болса, міндетті түрде тексер.
________________________________________
15. Енді диаграммамен жұмыс істейік
Балалар, кейде мәліметтер мәтін түрінде емес, диаграмма түрінде беріледі.
Диаграмма – ақпаратты көзбен тез түсінуге көмектесетін математикалық құрал.
Біз бүгін екі негізгі диаграммамен жұмыс істейміз:
1. Бағанды диаграмма
2. Дөңгелек диаграмма
________________________________________
16. Бағанды диаграмма дегеніміз не?
Бағанды диаграммада әр мәлімет баған арқылы көрсетіледі.
Бағанның биіктігі неғұрлым үлкен болса, сол көрсеткіш те соғұрлым үлкен.
Мысалы, оқушылардың бір аптада оқыған кітап саны берілсін:
Диаграммаға қарап бірден:
• ең көп кітап оқыған оқушыны;
• ең аз кітап оқыған оқушыны;
• айырмасын;
• жалпы санын;
• орташа мәнін
анықтауға болады.
________________________________________
17. Бағанды диаграмманы қалай оқимыз?
Диаграмманы көргенде бірден есеп шығаруға асықпа.
Алдымен:
1. Тақырыбына қара
Диаграмма нені көрсетіп тұр?
2. Көлденең осіне қара
Қандай нысандар берілген?
3. Тік осіне қара
Қандай өлшем қолданылған?
Мысалы:
• оқушы саны;
• кітап саны;
• теңге;
• килограмм;
• пайыз;
• километр.
4. Бағандардың биіктігін салыстыр
Қайсысы үлкен?
Қайсысы кіші?
________________________________________
18. Бағанды диаграмма бойынша логикалық есеп
Жоғарыдағы мәлімет бойынша:
Арман Айданадан қанша кітап артық оқыған?
Арман:
7 кітап
Айдана:
4 кітап
Айырмасы:
7 - 4 = 3
Жауабы:
Арман Айданадан 3 кітап артық оқыған.
________________________________________
19. Жалпы санды табу
Диаграммада:
• Айдана – 4;
• Арман – 7;
• Дана – 5;
• Марат – 3 кітап оқыды.
Барлығы:
4 + 7 + 5 + 3 = 19
Жауабы:
19 кітап.
________________________________________
20. Орташа мәнді табу
Барлығы 19 кітап.
Оқушы саны – 4.
Орташа:
19 : 4 = 4,75
Демек, бір оқушыға орта есеппен:
4,75 кітаптан
келеді.
Назар аудар!
Орташа мән міндетті түрде бүтін сан болмауы мүмкін.
________________________________________
21. Дөңгелек диаграмма дегеніміз не?
Дөңгелек диаграмма – бір бүтін нәрсенің бөліктерін көрсету үшін қолданылады.
Толық дөңгелек:
100%
немесе:
360°
болады.
Бұл өте маңызды!
Дөңгелек диаграммадағы барлық бөліктердің қосындысы 100%-ға тең.
Мысалы:
Бұл жерде:
• спорт – 30%;
• кітап оқу – 25%;
• компьютер – 20%;
• музыка – 15%;
• басқа – 10%.
Барлығын қосайық:
30 + 25 + 20 + 15 + 10 = 100%
Демек, диаграмма толық.
________________________________________
22. Дөңгелек диаграмма бойынша санды табу
Мысалы:
Сыныпта 40 оқушы бар. Оның 25%-ы кітап оқуды ұнатады. Кітап оқуды ұнататын оқушы саны қанша?
25% = 0,25
40 • 0,25 = 10
Жауабы:
10 оқушы.
________________________________________
23. Дөңгелек диаграммадағы пайызды пайдалану
Мысалы:
Сауалнамаға 200 оқушы қатысты. Диаграмма бойынша оқушылардың 35%-ы спортты таңдады. Спортты таңдаған оқушы саны қанша?
200 • 0,35 = 70
Жауабы:
70 оқушы.
________________________________________
24. Диаграммада пайыз берілмесе ше?
Кейде дөңгелек диаграммада сектордың бұрышы беріледі.
Есімізде болсын:
Толық дөңгелек = 360° = 100%
Мысалы, сектордың бұрышы 90° болса:
90° : 360° = 0,25
Пайызға айналдырамыз:
0,25 • 100% = 25%
Демек:
90° = 25%
________________________________________
25. Сектордың бұрышы арқылы есеп шығару
Сынып оқушыларының кітап таңдауын көрсететін дөңгелек диаграммада көркем әдебиетке сәйкес сектордың бұрышы 144°. Сыныпта 30 оқушы болса, көркем әдебиетті таңдағандар саны қанша?
Алдымен пайызын табамыз:
144 : 360 = 0,4
Демек:
40%
Енді 30 оқушының 40%-ын табамыз:
30 • 0,4 = 12
Жауабы:
12 оқушы.
________________________________________
26. Дөңгелек диаграмма бойынша салыстыру
Мысалы:
Сыныпта 40 оқушы бар.
• спорт – 30%;
• кітап – 25%.
Спортты таңдағандар:
40 • 0,30 = 12
Кітапты таңдағандар:
40 • 0,25 = 10
Айырмасы:
12 - 10 = 2
Жауабы:
Спортты таңдағандар кітапты таңдағандардан 2 оқушыға артық.
________________________________________
27. Диаграммадан жетіспейтін пайызды табу
Бұл да өте маңызды есеп түрі.
Мысалы:
Дөңгелек диаграммада:
• спорт – 35%;
• кітап – 20%;
• музыка – 15%;
• қалғаны – ?
Барлығы 100% болғандықтан:
35 + 20 + 15 = 70%
Қалғаны:
100% - 70% = 30%
Жауабы:
30%
________________________________________
28. Диаграммадағы екі мәліметті біріктіру
Мысалы:
Сауалнама нәтижесі:
• спорт – 30%;
• музыка – 20%;
• кітап – 25%;
• компьютер – 25%.
Егер барлығы 200 оқушы болса, спорт пен кітапты таңдағандар саны қанша?
Алдымен пайыздарын қосамыз:
30% + 25% = 55%
200 оқушының 55%-ы:
200 • 0,55 = 110
Жауабы:
110 оқушы.
________________________________________
29. Бағанды және дөңгелек диаграмманың айырмашылығы
Бағанды диаграмма Дөңгелек диаграмма
Мәліметтер бағандармен көрсетіледі Мәліметтер секторлармен көрсетіледі
Салыстыруға өте ыңғайлы Бүтіннің бөліктерін көрсетуге ыңғайлы
Үлкен және кіші мәнді тез көреміз Әр бөліктің жалпы үлесін көреміз
Сандық мәндерді салыстыруға болады Пайыздық қатынасты көрсетуге ыңғайлы
Есте сақта:
Бағанды диаграмма → салыстыру
Дөңгелек диаграмма → бүтіннің бөліктері
________________________________________
30. Диаграммадағы логикалық есептерді шешу алгоритмі
1-қадам. Диаграмманың тақырыбын оқы.
Не туралы екенін түсін.
2-қадам. Өлшем бірлігін анықта.
Мысалы:
адам, теңге, кг, кітап, %, т.б.
3-қадам. Барлық қажетті мәндерді оқып ал.
4-қадам. Не сұралғанын анықта.
5-қадам. Қажетті амалдарды таңда.
6-қадам. Егер пайыз болса, пайызды санға айналдыр.
7-қадам. Есепте.
8-қадам. Жауабыңды диаграммадағы ақпаратпен салыстырып тексер.
________________________________________
31. Күрделі логикалық есеп
Мектепте 400 оқушыға сауалнама жүргізілді. Дөңгелек диаграмма бойынша оқушылардың 35%-ы спортпен, 25%-ы кітап оқумен, 15%-ы музыкамен айналысатыны анықталды. Қалған оқушылар басқа үйірмелерге қатысады. Басқа үйірмелерге қатысатын оқушы саны қанша?
Алдымен белгілі пайыздарды қосамыз:
35% + 25% + 15% = 75%
Қалғаны:
100% - 75% = 25%
Енді 400 оқушының 25%-ын табамыз:
400 • 0,25 = 100
Жауабы:
100 оқушы басқа үйірмелерге қатысады.
________________________________________
32. Тағы бір күрделі есеп
Дүкеннің бір айдағы сатылымы бағанды диаграммада көрсетілген. Қаңтарда – 200 тауар, ақпанда – 250 тауар, наурызда – 300 тауар сатылды. Наурыздағы сатылым қаңтармен салыстырғанда неше пайызға артқан?
Алдымен айырмасын табамыз:
300 - 200 = 100
Бастапқы мән – 200.
Пайыз:
100 : 200 • 100% = 50%
Жауабы:
Наурыздағы сатылым қаңтармен салыстырғанда 50%-ға артқан.
________________________________________
33. Тағы бір маңызды логикалық жағдай
Қаңтарда 200 тауар, ақпанда 250 тауар сатылды. Ақпандағы сатылым қаңтардан қанша пайызға артық?
Айырмасы:
250 - 200 = 50
Пайыз:
50 : 200 • 100% = 25%
Жауабы:
25%-ға артық.
Егер сұрақ:
«Қаңтардағы сатылым ақпанға қарағанда қанша пайызға кем?»
болса, енді бастапқы мән 250 болады:
50 : 250 • 100% = 20%
Сондықтан:
• ақпан қаңтардан 25%-ға артық;
• қаңтар ақпаннан 20%-ға кем.
Неліктен пайыздары бірдей емес?
Өйткені салыстырудың негізгі саны өзгерді.
Бұл – өте маңызды логикалық ерекшелік!
________________________________________
34. Оқушыға арналған «ойлау тәртібі»
Есепті көргенде өзіңе мына сұрақтарды қой:
Пайыздық есеп болса:
1. 100% неге тең?
2. Қай сан бүтін сан болып тұр?
3. Қай бөлігі пайызбен берілген?
4. Пайызды табу керек пе, әлде пайыз арқылы санды табу керек пе?
5. Салыстыру болса, қай сан бастапқы мән?
________________________________________
Диаграмма болса:
1. Диаграмма не туралы?
2. Қандай өлшем қолданылған?
3. Ең үлкен мән қайсы?
4. Ең кіші мән қайсы?
5. Қай мәндерді салыстыру керек?
6. Барлық бөліктердің қосындысы қанша?
7. Пайыз бен нақты санды қалай байланыстырамын?
________________________________________
35. Өзің орындап көр
1-есеп
300 санының 20%-ын тап.
Жауабы: 60
________________________________________
2-есеп
Бір санның 25%-ы 40-қа тең. Осы санды тап.
Жауабы: 160
________________________________________
3-есеп
500 теңгенің бағасы 10%-ға арзандады. Жаңа бағасы қанша?
Жауабы: 450 теңге
________________________________________
4-есеп
400 оқушының 35%-ы спорт үйірмесіне қатысады. Қанша оқушы спорт үйірмесіне қатысады?
Жауабы: 140 оқушы
________________________________________
5-есеп
Дөңгелек диаграммада үш бөліктің үлесі:
• 20%;
• 35%;
• 15%.
Қалған бөлігі неше пайыз?
Шешуі:
20 + 35 + 15 = 70%
100 - 70 = 30%
Жауабы: 30%.
________________________________________
6-есеп
Бағанды диаграмма бойынша төрт сыныптың жинаған ұпайлары:
• 5-сынып – 60 ұпай;
• 6-сынып – 75 ұпай;
• 7-сынып – 90 ұпай;
• 8-сынып – 80 ұпай.
Ең жоғары нәтиже көрсеткен сынып қайсы?
Жауабы: 7-сынып.
________________________________________
7-есеп
6-сынып 75 ұпай, ал 5-сынып 60 ұпай жинады. 6-сыныптың нәтижесі 5-сыныптан неше пайызға жоғары?
Айырмасы:
75 - 60 = 15
Пайызы:
15 : 60 • 100% = 25%
Жауабы: 25%-ға жоғары.
________________________________________
36. Өзіңді тексер
Төмендегі сұрақтарға өзің жауап беріп көр.
1. 100%-дың мағынасы қандай?
→ Бүтін сан немесе толық мөлшер.
2. 25% қандай бөлшекке тең?
→ 1/4
3. 50% қандай бөлікті білдіреді?
→ Жартысын.
4. Дөңгелек диаграмманың толық бөлігі неше пайыз?
→ 100%
5. Толық дөңгелек неше градус?
→ 360°
6. Бағанды диаграмма не үшін ыңғайлы?
→ Мәліметтерді салыстыру үшін.
7. Дөңгелек диаграмма не үшін ыңғайлы?
→ Бүтіннің бөліктерін көрсету үшін.
8. Санның 20%-ын табу үшін не істейміз?
→ Санды 0,2-ге көбейтеміз.
________________________________________
37. Ең маңызды формулалар
Санның пайызын табу:
Бөлік = Сан • Пайыз / 100
________________________________________
Пайыз арқылы бүтін санды табу:
Бүтін = Бөлік • 100 / Пайыз
________________________________________
Бір санның екінші саннан неше пайыз екенін табу:
Пайыз = Бөлік / Бүтін • 100%
________________________________________
Пайыздық өсім:
Өсім пайызы = Өсім мөлшері / Бастапқы мән • 100%
________________________________________
Пайыздық кему:
Кему пайызы = Кему мөлшері / Бастапқы мән • 100%
________________________________________
Дөңгелек диаграмма:
360° = 100%
Сектордың пайызын табу:
Сектор бұрышы / 360° • 100%
________________________________________
38. Есте сақта!
Балалар, бүгінгі тақырыпта ең бастысы – формулаларды жаттау ғана емес, есептің мағынасын түсіну.
Пайыздық есептерде:
100% – толық мөлшер.
Диаграммада:
Бағанның биіктігі – мәннің мөлшерін көрсетеді.
Ал дөңгелек диаграммада:
Толық дөңгелек – 100% немесе 360°.
Егер есепте:
«неше пайыз?» десе – пайызды табамыз.
«осы пайызға сәйкес қанша?» десе – санды табамыз.
«неше пайызға артты?» десе – айырманы бастапқы санмен салыстырамыз.
«неше пайызға кеміді?» десе – айырманы тағы да бастапқы мәнге бөлеміз.
________________________________________
ҚОРЫТЫНДЫ
Пайыздық және диаграммалық есептерді шешуде ең маңызды дағды – ақпаратты дұрыс оқу және салыстыру.
Есепті шешудің жалпы жолы:
Ақпаратты оқы → не берілгенін анықта → не сұралғанын анықта → пайызды немесе диаграммадағы мәнді дұрыс түсін → қажетті формуланы таңда → есепте → жауабыңды тексер.
Ал диаграммаға келгенде:
Диаграмманы оқу → мәндерді анықтау → салыстыру → пайыздық қатынасты табу → қорытынды жасау.
Есіңде болсын:
Математикада дұрыс жауапқа жетудің бірінші қадамы – есепті дұрыс түсіну.
Пайызды жақсы түсінсең, дүкендегі жеңілдікті, бағаның өсуін, статистиканы, сауалнама нәтижесін, спорттық көрсеткіштерді және күнделікті өмірдегі көптеген мәліметтерді өзің талдай аласың.