Математикалық сауаттылық
Теңдеулердің көмегімен және әріпті өрнектер құру арқылы шешілетін мәтінді есептерге берілген логикалық есептер
2 / 10 тақырып
Теңдеулердің көмегімен және әріпті өрнектер құру арқылы шешілетін мәтінді есептерге берілген логикалық есептер
Теңдеулердің көмегімен және әріпті өрнектер құру арқылы шешілетін мәтінді есептерге берілген логикалық есептер
1. Тақырыпты түсініп алайық
Балалар, күнделікті өмірде бізге әртүрлі есептер кездеседі. Мысалы:
• бір заттың бағасын табу;
• екі адамның жасын анықтау;
• кітаптағы беттер санын есептеу;
• бір сан екінші саннан қаншаға артық немесе кем екенін анықтау;
• бірнеше заттың жалпы санын табу;
• қозғалысқа байланысты қашықтықты есептеу;
• белгісіз санды анықтау.
Мұндай есептерді бірден арифметикалық амалдармен шығару кейде қиын болады. Сондықтан белгісіз шаманы әріппен белгілеп, сол арқылы теңдеу немесе әріпті өрнек құрып, есепті шешеміз.
Ең маңыздысы – есептің шартын дұрыс түсіну.
Есепті шешудің негізгі мақсаты – мәтіндегі ақпаратты математикалық тілге айналдыру.
Яғни есептің мәтінін оқимыз → белгісізді анықтаймыз → әріппен белгілейміз → байланысын табамыз → теңдеу немесе өрнек құрамыз → шешеміз → жауабымызды тексереміз.
________________________________________
2. Белгісіз шаманы қалай белгілейміз?
Есепте бізге белгісіз санды көбінесе x әрпімен белгілейміз.
Мысалы:
Бір сан екіншісінен 7-ге артық. Кіші санды x деп белгілейік.
Онда үлкен сан:
x + 7
болады.
Егер:
Бір сан екіншісінен 7-ге кем.
десе, кіші сан:
x - 7
түрінде жазылады.
Есте сақта!
Мәтіндегі сөз Математикалық жазылуы
5-ке артық x + 5
5-ке кем x - 5
3 есе артық 3x
3 есе кем x : 3
бірнеше санның қосындысы x + y
санның 4 есесі 4x
санның жартысы x : 2
санның үштен бірі x : 3
«Артық» пен «есе артық» сөздерін шатастырмау өте маңызды!
Мысалы:
• 4-ке артық → x + 4
• 4 есе артық → 4x
________________________________________
3. Теңдеу дегеніміз не?
Теңдеу – құрамында белгісіз саны бар теңдік.
Мысалы:
x + 8 = 20
Мұндағы x – белгісіз сан.
x-ті табу үшін 20-дан 8-ді азайтамыз:
x = 20 - 8
x = 12
Тексерейік:
12 + 8 = 20
20 = 20
Демек, жауап дұрыс.
________________________________________
4. Мәтінді есепті теңдеу арқылы шешудің алгоритмі
Балалар, кез келген мәтінді есепті шығарғанда мына ретпен жұмыс істеген ыңғайлы.
1-қадам. Есепті мұқият оқы
Есепте не белгілі екенін және не белгісіз екенін анықта.
2-қадам. Белгісіз шаманы тап
«Нені табу керек?» деген сұраққа жауап бер.
3-қадам. Белгісізді x деп белгіле
Мысалы:
x – бірінші сан.
4-қадам. Қалған шамаларды x арқылы өрнекте
Мысалы:
бірінші сан – x,
екінші сан – x + 5.
5-қадам. Теңдеу құр
Есептің шартындағы байланысқа сүйеніп теңдік жаз.
6-қадам. Теңдеуді шеш
Белгісіздің мәнін тап.
7-қадам. Жауабын есептің шартына сәйкестендір
Тек «x = 12» деп тоқтап қалмаймыз.
Есепте не сұралса, соны толық жазамыз.
8-қадам. Тексер
Табылған сан есептің шартына сәйкес келе ме?
________________________________________
5. 1-мысал. Екі санның қосындысы
Екі санның қосындысы 35-ке тең. Бірінші сан екінші саннан 5-ке артық. Осы сандарды тап.
1-қадам. Белгісізді белгілейміз
Кіші санды x деп алайық.
Онда үлкен сан:
x + 5
болады.
2-қадам. Теңдеу құрамыз
Екі санның қосындысы 35 болғандықтан:
x + (x + 5) = 35
3-қадам. Теңдеуді шешеміз
2x + 5 = 35
2x = 30
x = 15
Демек, кіші сан – 15.
Үлкен сан:
15 + 5 = 20
4-қадам. Тексеру
15 + 20 = 35
Дұрыс.
Жауабы:
15 және 20.
________________________________________
6. 2-мысал. Бір сан екіншісінен бірнеше бірлікке артық
Екі санның айырмасы 12-ге тең. Үлкен сан 30 болса, кіші санды тап.
Бұл есепте теңдеу құру өте оңай.
Кіші санды x деп белгілейік.
Үлкен сан – 30.
Айырмасы 12 болғандықтан:
30 - x = 12
Теңдеуді шешеміз:
x = 30 - 12
x = 18
Тексеру:
30 - 18 = 12
Дұрыс.
Жауабы:
18.
________________________________________
7. 3-мысал. «Есе» ұғымына байланысты есеп
Бір сан екінші саннан 3 есе артық. Екі санның қосындысы 48. Осы сандарды тап.
Кіші санды x деп белгілейік.
Үлкен сан 3 есе болғандықтан:
3x
Екі санның қосындысы 48:
x + 3x = 48
Ұқсас мүшелерді қосамыз:
4x = 48
x = 12
Үлкен сан:
3 • 12 = 36
Тексеру:
12 + 36 = 48
Дұрыс.
Жауабы:
12 және 36.
________________________________________
8. «Артық» және «есе артық» айырмашылығы
Бұл – оқушылар жиі қателесетін жер.
Мысалы, бір сан 5-ке артық деген:
x + 5
Ал бір сан 5 есе артық деген:
5x
Мысал:
x = 6 болсын.
6-дан 5-ке артық:
6 + 5 = 11
6-дан 5 есе артық:
6 • 5 = 30
Көріп тұрсыңдар ма? Нәтижелері мүлде басқа.
________________________________________
9. Әріпті өрнек дегеніміз не?
Кейде есепте нақты бір санды табу міндетті емес. Бізге белгілі бір шаманы әріп арқылы өрнектеу керек болады.
Мысалы:
Бір дәптердің бағасы x теңге. 5 дәптер қанша тұрады?
Бір дәптер – x теңге.
5 дәптер:
5x
теңге тұрады.
Бұл – әріпті өрнек.
________________________________________
10. Әріпті өрнек құру
Мысалы:
Бір қаламның бағасы x теңге, ал дәптердің бағасы қаламнан 20 теңгеге қымбат. Дәптердің бағасын өрнек түрінде жаз.
Қаламның бағасы:
x
Дәптер 20 теңгеге қымбат:
x + 20
Жауабы:
x + 20
________________________________________
11. Бірнеше заттың жалпы құнын табу
Мысалы:
Бір кітаптың бағасы x теңге. 3 кітап пен 2 дәптердің жалпы құнын өрнекте. Дәптердің бағасы y теңге.
3 кітаптың бағасы:
3x
2 дәптердің бағасы:
2y
Жалпы құны:
3x + 2y
Жауабы:
3x + 2y
________________________________________
12. Жақша қолданылатын өрнектер
Кейде бірдей заттың саны немесе бағасы белгісіз болған жағдайда жақша қолданамыз.
Мысалы:
Бір дәптер x теңге, бір қалам одан 30 теңгеге қымбат. 4 дәптер мен 4 қаламның бағасын өрнекте.
Дәптер:
x
Қалам:
x + 30
4 дәптер:
4x
4 қалам:
4(x + 30)
Барлығы:
4x + 4(x + 30)
Жақшаны ашсақ:
4x + 4x + 120 = 8x + 120
________________________________________
13. Жасқа байланысты логикалық есептер
Жасқа байланысты есептерде қазіргі жасты x арқылы белгілеу өте ыңғайлы.
Мысал:
Ағасы қарындасынан 6 жас үлкен. Қарындасының жасы x болса, ағасының жасын өрнекте.
Қарындасы:
x
Ағасы:
x + 6
Егер 5 жылдан кейінгі жасты сұраса:
Қарындасы:
x + 5
Ағасы:
x + 6 + 5 = x + 11
________________________________________
14. Жасқа байланысты есептің толық шығарылуы
Әкесі баласынан 28 жас үлкен. Екеуінің жастарының қосындысы 48. Әкесі мен баласының жасын тап.
Баланың жасын x деп белгілейміз.
Әкесінің жасы:
x + 28
Жастарының қосындысы 48:
x + (x + 28) = 48
Теңдеуді шешеміз:
2x + 28 = 48
2x = 20
x = 10
Баланың жасы – 10 жас.
Әкесінің жасы:
10 + 28 = 38
Тексеру:
10 + 38 = 48
Дұрыс.
Жауабы:
Бала – 10 жаста, әкесі – 38 жаста.
________________________________________
15. Қозғалысқа байланысты есептер
Қозғалыс есептерінде үш негізгі шама болады:
Қашықтық, жылдамдық, уақыт.
Олардың байланысы:
S = v • t
мұнда:
• S – қашықтық;
• v – жылдамдық;
• t – уақыт.
Егер қашықтық пен уақыт белгілі болса:
v = S : t
Егер қашықтық пен жылдамдық белгілі болса:
t = S : v
________________________________________
16. Қозғалыс есебіне мысал
Автобус 60 км/сағ жылдамдықпен 3 сағат жүрді. Ол қанша километр жол жүрді?
Формула:
S = v • t
Берілгені:
v = 60 км/сағ
t = 3 сағ
Сонда:
S = 60 • 3 = 180 км
Жауабы:
180 км.
________________________________________
17. Қарама-қарсы бағыттағы қозғалыс
Екі көлік бір-біріне қарама-қарсы қозғалғанда олардың арақашықтығы азаяды.
Мысалы:
Екі ауылдың арасы 120 км. Бір ауылдан машина 40 км/сағ, екінші ауылдан екінші машина 20 км/сағ жылдамдықпен бір уақытта бір-біріне қарай шықты.
Бір сағатта олардың арақашықтығы:
40 + 20 = 60 км
болады.
Демек, кездесуге кететін уақыт:
120 : 60 = 2 сағат.
Жауабы:
2 сағаттан кейін кездеседі.
________________________________________
18. Жұмысқа байланысты есептер
Кейбір есептерде адамдардың немесе машиналардың бір жұмысты орындау уақыты беріледі.
Мысалы:
Бір жұмысшы жұмысты 6 күнде орындайды. Бір күнде жұмыстың қандай бөлігін орындайды?
Бүкіл жұмысты 1 деп аламыз.
6 күнде толық жұмыс:
1
Бір күнде:
1 : 6 = 1/6
Демек, жұмысшы бір күнде жұмыстың 1/6 бөлігін орындайды.
________________________________________
19. Санның цифрларына байланысты логикалық есептер
Кейбір логикалық есептерде санның цифрлары туралы айтылады.
Мысалы:
Екі таңбалы санның ондық цифры x, ал бірлік цифры y болсын. Бұл сан қалай жазылады?
Екі таңбалы сан:
10x + y
түрінде жазылады.
Мысалы, ондық цифры 4, бірлік цифры 7 болса:
10 • 4 + 7 = 47
________________________________________
20. Цифрларының қосындысы берілген есеп
Екі таңбалы санның цифрларының қосындысы 9-ға тең. Ондық цифры бірлік цифрынан 3-ке артық. Санды тап.
Бірлік цифрын x деп алайық.
Ондық цифры:
x + 3
Цифрларының қосындысы 9:
x + (x + 3) = 9
2x + 3 = 9
2x = 6
x = 3
Демек, бірлік цифры – 3.
Ондық цифры:
3 + 3 = 6
Сан:
63
Тексеру:
6 + 3 = 9
Дұрыс.
Жауабы:
63.
________________________________________
21. Бөлікке байланысты есептер
Мұндай есептерде бір шаманың екінші шамаға қатынасы беріледі.
Мысалы:
Сыныпта қыздар мен ұлдардың санының қатынасы 2 : 3. Барлығы 25 оқушы бар. Қыздар саны қанша?
Қатынастағы барлық бөліктер:
2 + 3 = 5 бөлік
25 оқушы 5 бөлікке сәйкес келеді.
Бір бөлік:
25 : 5 = 5
Қыздар:
2 • 5 = 10
Ұлдар:
3 • 5 = 15
Жауабы:
10 қыз, 15 ұл.
________________________________________
22. Логикалық есептерді шешу кезінде нені есте сақтау керек?
Логикалық есепті шығарғанда тек амалдарды орындау жеткіліксіз. Ойланып, шарттағы байланысты табу керек.
Өзіңе мына сұрақтарды қой:
1. Не белгілі?
2. Не белгісіз?
3. Белгісізді қалай белгілеймін?
4. Қандай шамалар бір-бірімен байланысты?
5. Қай жерде қосу керек?
6. Қай жерде азайту керек?
7. Қай жерде көбейту керек?
8. Қай жерде бөлу керек?
9. Теңдеу құруға бола ма?
10. Жауап есептің шартына сәйкес келе ме?
________________________________________
23. Есеп шартындағы негізгі сөздер
Есепті оқығанда кейбір сөздер математикалық амалға бағыт береді.
Қосу
• барлығы;
• қосындысы;
• бірге;
• жалпы;
• артты;
• тағы қосылды.
Мысалы:
x + 7
Азайту
• қалды;
• айырмасы;
• кем;
• азайды;
• артық болғандықтан айырмасы.
Мысалы:
x - 7
Көбейту
• бірнеше есе;
• 3 есесі;
• әрқайсысында бірдей;
• әр заттан бірнешеу.
Мысалы:
3x
Бөлу
• тең бөлді;
• әрқайсысына бірдей;
• жартысы;
• үштен бірі;
• бірнеше бөлікке бөлді.
Мысалы:
x : 3
________________________________________
24. Ең жиі кездесетін қателер
1-қате: «5-ке артық» пен «5 есе артықты» шатастыру
5-ке артық → x + 5
5 есе артық → 5x
________________________________________
2-қате: Белгісізді дұрыс таңдамау
Егер есепте «кіші санды тап» делінсе, кіші санды x деп алған ыңғайлы.
Сонда үлкен санды оңай өрнектейміз:
x + ...
________________________________________
3-қате: Теңдеуді тексермеу
Теңдеуді шешкеннен кейін міндетті түрде бастапқы шартқа қойып тексер.
________________________________________
4-қате: Жауапты толық жазбау
Егер:
x = 12
шықса, есеп «Ағасының жасын тап» деп сұраса, жай ғана 12 деп жазбаймыз.
Мысалы:
Жауабы: ағасы 12 жаста.
________________________________________
25. Есепті қысқаша жазудың тиімді тәсілі
Мәтінді есепті бірден теңдеуге айналдыру қиын болса, алдымен қысқаша жазып ал.
Мысалы:
Бірінші сан – x
Екінші сан – x + 8
Қосындысы – 40
Содан кейін:
x + x + 8 = 40
Осылайша есептің мәтіні математикалық модельге айналады.
________________________________________
26. Өзің орындап көр
1-есеп
Екі санның қосындысы 56-ға тең. Бір сан екіншісінен 8-ге артық. Сандарды тап.
Көмек:
Кіші санды x деп ал.
Үлкен сан:
x + 8
Теңдеу:
x + (x + 8) = 56
________________________________________
2-есеп
Бір сан екіншісінен 4 есе артық. Екі санның қосындысы 45. Сандарды тап.
Көмек:
Кіші сан – x.
Үлкен сан – 4x.
Теңдеу:
x + 4x = 45
________________________________________
3-есеп
Әпкесі інісінен 5 жас үлкен. Екеуінің жастарының қосындысы 25. Әпкесі мен інісінің жасын тап.
Көмек:
Інісі – x.
Әпкесі – x + 5.
Теңдеу:
x + (x + 5) = 25
________________________________________
4-есеп
Бір кітаптың бағасы x теңге. 4 кітап пен 3 дәптердің жалпы бағасын өрнекте. Бір дәптердің бағасы y теңге.
Көмек:
4 кітап:
4x
3 дәптер:
3y
Барлығы:
4x + 3y
________________________________________
27. Күрделірек логикалық есеп
Үш санның қосындысы 60. Екінші сан бірінші саннан 5-ке артық, ал үшінші сан бірінші саннан 10-ға артық. Сандарды тап.
Бірінші санды:
x
деп аламыз.
Екінші сан:
x + 5
Үшінші сан:
x + 10
Үш санның қосындысы 60:
x + (x + 5) + (x + 10) = 60
Жақшаларды ашамыз:
x + x + 5 + x + 10 = 60
Ұқсас мүшелерді біріктіреміз:
3x + 15 = 60
3x = 45
x = 15
Бірінші сан:
15
Екінші сан:
15 + 5 = 20
Үшінші сан:
15 + 10 = 25
Тексеру:
15 + 20 + 25 = 60
Дұрыс.
Жауабы:
15, 20 және 25.
________________________________________
28. Логикалық ойлауды дамытуға арналған есеп
Бір қатарда 5 бала тұр. Айдос Нұрланнан сол жақта тұр. Нұрлан Даниярдан сол жақта тұр. Данияр Мараттан сол жақта тұр. Марат Серіктен сол жақта тұр. Балалардың орналасу реті қандай?
Мәтіндегі ақпаратты біртіндеп қарастырамыз:
Айдос → Нұрлан
Нұрлан → Данияр
Данияр → Марат
Марат → Серік
Сондықтан:
Айдос – Нұрлан – Данияр – Марат – Серік
Жауабы:
Балалардың солдан оңға қарай орналасу реті:
Айдос, Нұрлан, Данияр, Марат, Серік.
Бұл есепте теңдеу қажет емес. Мұнда логикалық байланыстарды дұрыс ретімен орналастыру маңызды.
________________________________________
29. Есте сақтайтын ең маңызды ереже
Балалар, мәтінді есеп көргенде бірден амал орындауға асықпаңдар.
Алдымен:
Шартын түсін → белгісізді анықта → x деп белгіле → қалған шамаларды x арқылы жаз → теңдеу құр → шеш → тексер → толық жауап бер.
Ал әріпті өрнек құру кезінде:
Мәтіндегі сөздерді математикалық амалдарға аудар.
Мысалы:
«5 дәптер» → 5x
«5 теңгеге қымбат» → x + 5
«5 теңгеге арзан» → x - 5
«5 есе қымбат» → 5x
«5 есе арзан» → x : 5
________________________________________
30. Қорытынды
Теңдеу арқылы мәтінді есеп шығару – есептің мәтінін математика тіліне аудару.
Егер біз есептің шартын дұрыс түсінсек, белгісіз шаманы дұрыс белгілесек және шамалардың арасындағы байланысты дұрыс құрсақ, күрделі көрінетін есептің өзі оңай шешіледі.
Ең бастысы – есепті жаттап шығару емес, оның мағынасын түсіну.
Әр есепте өзіңе:
«Менде не белгілі? Нені табуым керек? Белгісізді x деп алсам, қалған шамалар қалай өрнектеледі?»
деген үш сұрақты қой.
Осы үш сұраққа дұрыс жауап бере алсаң, мәтінді есептердің көпшілігін теңдеу арқылы сенімді түрде шығара аласың.
Қысқаша формула:
Мәтін → талдау → белгісіз шама → әріпті өрнек → теңдеу → шешу → тексеру → жауап.